Het getal van Euler Bijlage bij Handleiding Maple 10

Ga steeds op de rode inputregel staan en druk op Enter.

Dit werkblad heeft een aangepaste stijl (met Format-Styles). Gekozen is voor het font Arial. Verder zijn de Section Ranges en Group Ranges onzichtbaar gemaakt (met o.a. View-Show Section Ranges).

In dit werkblad (worksheet), gemaakt in Maple 10 Classic Worksheet, wordt uiteengezet hoe het getal van Euler tot stand komt. Dit getal wordt gebruikt als grondtal voor de natuurlijke logaritme NiMtJSNsbkc2IyUieEc= . en als grondtal voor de natuurlijke exponenti\303\253le functie NiMtJSRleHBHNiMlInhH.

Ook wordt dit getal gebruikt in de formule van Euler: NiMvLCYtJSRjb3NHNiMlJHBoaUciIiIqJiUiaUciIiItJSRzaW5HNiMlJHBoaUciIiIiIiItJSRleHBHNiMqJiUiaUciIiIlJHBoaUciIiI=

De numerieke waarde van dit getal is: restart; exp(1)=evalf(exp(1));

Teken in \303\251\303\251n figuur de grafieken van NiMvKSUiYUclInhHKSIiIyUieEc= en NiMvJSJ5RywmIiIiIiIiJSJ4RyIiIg==. Er zijn twee snijpunten van deze grafieken zo te zien, namelijk de punten (0,1) en (1,2) . plot([2^x,1+x],x=-1..2,thickness=[1,2]); We gaan nu achtereenvolgens de exponenti\303\253le functies tekenen: NiMpJSJiRyUieEc=, NiMpJSJjRyUieEc=, NiMpJSJkRyUieEc=, en ten slotte NiMtJSRleHBHNiMlInhH. Deze exponenti\303\253le functies zullen de eigenschap hebben dat de snijpunten van hun grafiek met de lijn NiMvJSJ5RywmIiIiIiIiJSJ4RyIiIg== steeds dichter bijelkaar komen te liggen.

Stel de snijpunten van NiMpJSJiRyUieEc= en de lijn NiMvJSJ5RywmJSJ4RyIiIiIiIiIiIg== zijn nu (0,1) en (NiQqJiIiIkYkIiImISIiLCZGJEYkRiNGJA==). Er moet dan voor het snijpunt de volgende vergelijking gelden. NiMvKSUiYkcqJiIiIiIiIiIiJiEiIiwmIiIiIiIiKiYiIiIiIiIiIiYhIiIiIiI= De vergelijking kan opgelost worden met b als onbekende waarbij direct daarna de berekende waarde wordt toegekend aan b. fsolve(b^(1/5) = 6/5,{b}); assign(%); Dit systeem zetten we voort zodat de grafiek van NiMpJSJjRyUieEc= de lijn in het punt (NiQqJiIiIkYkIiM1ISIiLCZGJEYkRiNGJA==) snijdt. De grafiek van NiMpJSJkRyUieEc= snijdt de lijn NiMvJSJ5RywmJSJ4RyIiIiIiIiIiIg== in het punt (NiQqJiIiIkYkIiQrIiEiIiwmRiRGJEYjRiQ=). De volgende vergelijkingen moeten opgelost worden waarna onmiddelijk de toekenningen worden gedaan voor c en d. NiMvKSUiY0cqJiIiIiIiIiIjNSEiIiwmIiIiIiIiKiYiIiIiIiIiIzUhIiIiIiI= NiMvKSUiZEcqJiIiIiIiIiIkKyIhIiIsJiIiIiIiIiomIiIiIiIiIiQrIiEiIiIiIg== fsolve(c^(1/10)=1+1/10,{c});assign(%); fsolve(d^(1/100)=1+1/100,{d});assign(%); Met pen en papier en rekenmachine bijvoorbeeld een dergelijke vergelijking oplossen, zou als volgt gaan: NiMvKSUiY0cqJiIiIiIiIiIjNSEiIiwmIiIiIiIiKiYiIiIiIiIiIzUhIiIiIiI= Links en rechts tot de macht 10 verheffen: NiMvJSJjRyokKSwmIiIiIiIiKiYiIiIiIiIiIzUhIiIiIiIiIzUiIiI= Met de rekenmachine c uitrekenen: NiMvJSJjRy0lJkZsb2F0RzYkIitnQ3UkZiMhIio= Nu de waarden van b, c en d bekend zijn, kunnen de grafieken van de exponenti\303\251le functies getekend worden. De lijn NiMvJSJ5RywmJSJ4RyIiIiIiIiIiIg== blijft onveranderd. plot([b^x,c^x,d^x,x+1],x=-1..1,thickness=[1,1,1,2]);

Laat nu de snijpunten van de grafiek van NiMtJSRleHBHNiMlInhH en NiMsJiIiIiIiIiUieEciIiI= elkaar heel dicht naderen en stel het tweede snijpunt: (NiQqJiIiIkYkJSJuRyEiIiwmRiRGJEYjRiQ=). NiMvLSUkZXhwRzYjKiYiIiIiIiIlIm5HISIiLCYiIiIiIiIqJiIiIiIiIiUibkchIiIiIiI= Links en rechts tot de macht NiMqJiIiIiIiIiUibkchIiI= verheffen. NiMvLSUkZXhwRzYjIiIiKSwmIiIiIiIiKiYiIiIiIiIlIm5HISIiIiIiJSJuRw== Voor NiNmKjYjJSJuRzciNiQlKW9wZXJhdG9yRyUmYXJyb3dHNiIlKWluZmluaXR5RzYiNiI2Ig== krijg je de limietwaarde van het getal e dat de volgende eigenschap heeft: de grafiek van NiMtJSRleHBHNiMlInhH raakt de grafiek van de lijn NiMvJSJ5RywmIiIiIiIiJSJ4RyIiIg== in het punt (0,1). Limit((1+1/n)^n,n=infinity):%=value(%); plot([exp(x),1+x],x=-2..2,thickness=[1,2]); with(plots): f:=a^x; achtergrond:=plot(x+1,x=-2..2,color=blue,linestyle=2):animate(plot,[f,x=-2..2],a=2..exp(1),thickness=2,background=achtergrond); Klik op de grafiek en zet de animatie in werking.

Zie ook in de helpfunctie limieten Ga naar de paragraaf Het getal van Euler